درسنامه آموزشی فصل سوم ریاضی (3) کلاس دوازدهم علوم تجربی

یادآوری و تکمیل

در کلاس یازدهم با مفهوم حد تابع در یک نقطه آشنا شدیم. در فصل حاضر به حد بی‌نهایت و حد در بی‌نهایت خواهیم پرداخت. پیش از آن لازم است مطالبی را از پایه قبل یادآوری و تکمیل کنیم. همچنین، برخی پیش نیازها باید ارائه گردد.

بخش‌پذیری چندجمله‌ای‌ها بر $(x - a)$:

از فعالیت قبل دیده می‌شود که:

نتیجهٔ حاضر را می‌توان برای تجزیه چندجمله‌ای‌ها به کار برد.

حد توابع کسری

با قضیه زیر از پایهٔ قبل آشنا هستیم:

مثال:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}} = \frac{{12}}{6} = 2$

در سال گذشته دیدیم که در یک تابع گویا مثل $\frac{f}{g}$، اگر $f(a) = g(a) = 0$، در این صورت دیگر قضیهٔ بالا برای محاسبه حد تابع $\frac{f}{g}$ در $a$ قابلیت استفاده ندارد. در این حالت با توجه به روابط $f(a) = 0$ و $g(a) = 0$، نتیجه می‌گیریم که چند جمله‌ای‌های $f(x)$ و $g(x)$ هر دو بر عامل $(x - a)$ بخش‌پذیرند. بنابراین با تقسیم صورت و مخرج کسر $\frac{f}{g}$ بر $(x - a)$، تابع گویای دیگری حاصل می‌شود که حد آن در نقطهٔ $a$، در صورت وجود با حد $\frac{f}{g}$ در $a$ برابر است.

مثال: مقدار $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + x - 2}}$ را محاسبه کنید.

حل: صورت و مخرج کسر به ازای $x = 1$ برابر صفرند. بنابراین هم صورت و هم مخرج بر $(x - 1)$ بخش‌پذیرند. این عامل را به کمک تجزیه، در صورت و مخرج ظاهر و سپس حذف می‌کنیم.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\cancel{{(x - 1)}}(x + 1)}}{{\cancel{{(x - 1)}}(x + 2)}} = \frac{{1 + 1}}{{1 + 2}} = \frac{2}{3}$

مثال: حد تابع $f(x) = \frac{{3{x^3} + 3{x^2} + 4}}{{{x^3} + 8}}$ را در نقطهٔ $x =  - 2$ در صورت وجود به‌دست آورید.

حل: در این مثال نیز صورت و مخرج به ازای $x =  - 2$ برابر صفرند. باید عامل $(x + 2)$ را در صورت و مخرج ظاهر کنیم. مخرج را می‌توانیم به کمک اتحاد مجموع مکعب‌های دو جمله به حاصل ضرب عامل‌های اوّل تجزیه کنیم. اما برای تجزیهٔ صورت، آن را بر $x =  + 2$ تقسیم می‌کنیم:

بنابر رابطهٔ تقسیم می‌توان نوشت $2{x^3} + 3{x^2} + 4 = (x + 2)(2{x^2} - x + 2)$. بنابراین:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{\cancel{{(x + 2)}}(2{x^2} - x + 2)}}{{\cancel{{(x + 2)}}({x^2} - 2x + 4)}} = \frac{{8 + 2 + 2}}{{4 + 4 + 4}} = 1$

مثال: حد تابع $g(x) = \frac{{2 - \sqrt {x - 1} }}{{x - 5}}$ را در نقطهٔ به طول $x = 5$ در صورت وجود به‌دست آورید.

حل: هم حد صورت و هم حد مخرج در نقطهٔ 5 برابر صفرند. صورت و مخرج را در عبارت $2 + \sqrt {x - 1} $ ضرب می‌کنیم تا صورت کسر عبارتی گویا شود.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{2 - \sqrt {x - 1} }}{{x - 5}} \times \frac{{2 + \sqrt {x - 1} }}{{2 + \sqrt {x - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{4 - (x - 1)}}{{(x - 5)(2 + \sqrt {x - 1} )}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{ - \cancel{{(x - 5)}}}}{{\cancel{{(x - 5)}}(2 + \sqrt {x - 1} )}} = \frac{{ - 1}}{{2 + 2}} = \frac{{ - 1}}{4}$

مثال: حد تابع $h(x) = \frac{{{x^2} - 8x}}{{\sqrt[3]{x} - 2}}$ را در $x = 8$ در صورت وجود به‌دست آورید.

حل: هم حد صورت و هم حد مخرج در $x = 8$ برابر صفرند. صورت و مخرج را در عبارت $\sqrt[3]{{{x^2}}} + 2\sqrt[3]{x} + 4$ ضرب می‌کنیم تا مخرج کسر گویا شود.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 8} h(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 8} \frac{{{x^2} - 8x}}{{\sqrt[3]{x} - 2}} \times \frac{{\sqrt[3]{{{x^2}}} + 2\sqrt[3]{x} + 4}}{{\sqrt[3]{{{x^2}}} + 2\sqrt[3]{x} + 4}} = $

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 8} \frac{{x\cancel{{(x - 8)}}(\sqrt[3]{{{x^2}}} + 2\sqrt[3]{x} + 4)}}{{\cancel{{x - 8}}}} = 8(4 + 4 + 4) = 96$

حد نامتناهی

تابعی مثل $f$ را در نظر بگیرید که در نزدیکی یک نقطه مثل $a$، مقدارش از هر عدد دلخواه مثبتی بتواند بزرگ‌تر شود؛ به‌عبارت دیگر، در نقطهٔ $a$ حد آن $ + \infty $ شود. در اینجا، حدهایی از این نوع را بررسی می‌کنیم. ابتدا به چند تعریف نیاز داریم.

مثال: بازهٔ $(2,5)$ یک همسایگی 3 است. آیا بازهٔ $(0,4)$ هم یک همسایگی برای 3 محسوب می‌شود؟ شما دو همسایگی دیگر برای 3 بنویسید و جواب خود را با پاسخ دوستانتان مقایسه کنید.

مثال: مجموعهٔ $(\frac{5}{2},4) - \left\{ 3 \right\}$ یک همسایگی محذوف 3 می‌باشد.

مثال: بازهٔ $(3,4)$ یک همسایگی راست 3 و بازهٔ $(\frac{3}{2},3)$ یک همسایگی چپ 3 است. شما یک همسایگی راست دیگر برای 3 و یک همسایگی چپ برای آن بنویسید.

در جدول دیده می‌شود که وقتی $x$ از سمت راست یا چپ به صفر نزدیک می‌شود، مقدار ${x^2}$ نیز به صفر نزدیک می‌شود. بنابراین مقادیر $\frac{1}{{{x^2}}}$، به هر اندازهٔ دلخواه بزرگ می‌شوند. در واقع با دقت در نمودار، تابع $y = \frac{1}{{{x^2}}}$ می‌توان نتیجه گرفت که هرگاه به اندازهٔ کافی $x$ را به صفر نزدیک کنیم، خواهیم توانست مقادیر $f(x)$ را به هر اندازهٔ دلخواه بزرگ نماییم. بنابراین دیده می‌شود که مقدارهای بزرگ شونده $f(x)$ به هیچ عددی میل نمی‌کنند؛ در نتیجه $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{{x^2}}}$ موجود نیست. با این حال، در چنین مواقعی برای توصیف بهتر رفتار تابع در همسایگی محذوف صفر، می‌نویسیم $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{{x^2}}} =  + \infty $.

تذکر: همچنان که از سال‌های قبل می‌دانیم، $ + \infty $ یک عدد حقیقی نیست و رابطهٔ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{{x^2}}} =  + \infty $ صرفاً به حالت خاصی از عدم وجود حد اشاره دارد. به این معنا که $\frac{1}{{{x^2}}}$ را به هر اندازه که بخواهیم می‌توانیم بزرگ کنیم، مشروط بر آنکه $x$ را به قدر کافی به صفر نزدیک کرده باشیم. این‌گونه حدها را حد نامتناهی یا حد بی‌نهایت می‌نامیم.

رابطهٔ $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) =  - \infty $ نیز به روش مشابه تعریف می‌شود:

حدهای یک طرفهٔ نامتناهی نیز به روش مشابهی تعریف می‌شوند. به عنوان نمونه تعریف $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) =  + \infty $ در زیر آمده است.

به نمودار مربوط به $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) =  + \infty $ و همچنین سایر حالت‌های حدود نامتناهی یک طرفه، در شکل‌های زیر دقت کنید.

مثال: حد چپ و راست تابع $f(x) = \frac{1}{{x - 2}}$ را در $x = 2$ به‌دست آورید.

حل: نمودار تابع با ضابطهٔ $f(x) = \frac{1}{{x - 2}}$ رسم شده است. به مقادیر تابع در سمت راست و چپ $x = 2$ دقت نمایید. وقتی $x \to {2^ + }$ در این حالت مخرج کسر یعنی $(x - 2)$ عددی مثبت و کوچک نزدیک صفر خواهد بود. در نتیجه $\frac{1}{{x - 2}}$ مثبت و بسیار بزرگ می‌شود که مقدار آن می‌تواند از هر عدد مثبت دلخواهی بزرگ‌تر شود. بنابراین همان‌طور که از نمودار هم دیده می‌شود، $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{1}{{x - 2}} =  + \infty $.

به همین ترتیب وقتی $x \to {2^ - }$، مخرج کسر یعنی $(x - 2)$ عددی منفی و بسیار نزدیک صفر خواهد بود. در نتیجه مقدار $\frac{1}{{x - 2}}$ می‌تواند از هر عدد منفی دلخواه، کوچک‌تر شود، بنابراین $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{1}{{x - 2}} =  - \infty $. درستی این مطلب، از روی نمودار هم قابل مشاهده است.

در مورد حدهای نامتناهی قضیهٔ زیر بدون اثبات ارائه می‌شود.

تذکر: قضیهٔ قبل، برای حالتی که $x \to {a^ + }$ و یا $x \to {a^ - }$ نیز برقرار است.

مثال: حاصل $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{\left[ x \right] - 3}}{{\left| {2x - 1} \right|}}$ را محاسبه کنید.

حل: مخرج در نزدیکی $\frac{1}{2}$ با مقادیر مثبت به صفر میل می‌کند و حد صورت هم در $\frac{1}{2}$ برابر 3- است.

پس بنابر قسمت (پ) قضیهٔ قبل داریم:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{\left[ x \right] - 3}}{{\left| {2x - 1} \right|}} =  - \infty $